不具有弱 Lefschetz 性质的泛初理想与分次 Artinian 水平代数

我们基于一个约化数找到了 \H 不是水平的充分条件。特别地，我们证明具有 Hilbert 函数 $\H=(h_0,h_1,..., h_{d-1}>h_d=h_{d+1})$ 的余维数 3 的分次 Artinian 代数若 $h_d\le 2d+3$ 则不能是水平的，并且对于 $k\ge 4$ 当 $h_d \ge 2d+k$ 时存在类型为 \H 的余维数 3 的水平 O-序列。此外，我们表明若 $\beta_{1,d+2}(I^{\rm lex})=\beta_{2,d+2}(I^{\rm lex})$ 则 \H 不是水平的，并且也证明了任意余维数 3 的 Artinian 分次代数 $A=R/I$ 若 $\beta_{1,d+2}(\Gin(I))=\beta_{2,d+2}(\Gin(I))$ 则不能是水平的。在此情形下，$A$ 的 Hilbert 函数不必满足条件 $h_{d-1}>h_d=h_{d+1}$。而且，我们证明每个具有弱 Lefschetz 性质（Weak-Lefschetz Property）的余维数 $n$ 分次 Artinian 水平代数具有严格单峰的 Hilbert 函数，且对每个 $d > \theta$ 满足增长条件 $(h_{d-1}-h_{d}) \le (n-1)(h_d-h_{d+1})$，其中 $$h_0<h_1<...<h_\alpha=...=h_{\theta}>...>h_{s-1}>h_s.$$ 特别地，我们发现若 $A$ 为余维数 3，则对每个 $\theta< d <s$ 有 $(h_{d-1}-h_{d}) < 2(h_d-h_{d+1})$ 且 $h_{s-1}\le 3 h_s$，并证明若 $A$ 是具有 $h$-向量 $(1,3,h_2,...,h_s)$ 的余维数 3 Artinian 代数，使得对某个 $r_1(A)<d<s$ 有 $$h_{d-1}-h_d=2(h_d-h_{d+1})>0 \quad \text{and} \quad \soc(A)_{d-1}=0$$ 则 $(I_{\le d+1})$ 是 $(d+1)$-正则的且 $\dim_k\soc(A)_d=h_d-h_{d+1}$。