具有 Lefschetz 性质或强 Stanley 性质的 Artinian 理想的泛初始理想

对于标准 Artinian $k$-代数 $A=R/I$，我们给出 $A$ 具有弱（或强）Lefschetz 性质或强 Stanley 性质，等价于在逆字典序下 $I$ 的泛初始理想 $\mathrm{gin}(I)$ 的极小生成系所满足的条件。利用弱 Lefschetz 性质的等价条件，我们表明若 $A$ 具有弱 Lefschetz 性质，则 $\mathrm{gin}(I)$ 的某些分次 Betti 数仅由 $I$ 的 Hilbert 函数决定。进一步，对 $A$ 为余维数 3 的标准 Artinian $k$-代数之情形，我们证明若 $A$ 具有弱 Lefschetz 性质，则 $\mathrm{gin}(I)$ 的每一分次 Betti 数均由 $I$ 的分次 Betti 数决定。并且若 $A$ 具有强 Lefschetz（相应地为 Stanley）性质，则我们证明 $\mathrm{gin}(I)$ 的极小生成系由 $I$ 的分次 Betti 数（相应地为 Hilbert 函数）决定。