余维 3 的非水平 O-序列与极点元素的次数

目前未知余维 3、型 $r (\ge 2)$ 的 Artinian 水平 O-序列是否单峰，而已知任意 Gorenstein 余维 3 的 O-序列是单峰的。我们证明某些余维 3 的 Artinian 非单峰 O-序列不可能是水平的。我们还发现了另一非水平情形：若某个余维 3 的 Artinian 代数 $A$ 具有 Hilbert 函数 \begin{matrix}\H & : & h_0 & h_1 & ... & h_{d-1} & \underbrace{h_d ... h_d}_{s\text{-times}} & h_{d+s}, \end{matrix} 使得 $h_d<h_{d+s}$ 且 $s\ge 2$，则 $A$ 在次数 $d+s-2$ 有一个极点元素，即 $A$ 不是水平的。