关于泛化 Gorenstein $K$-代数的率

标准分次 $K$-代数 $A$ 的率度量了 $K$ 作为 $A$-模的极小自由分解中位移的增长。特别地，$A$ 率为 1 当且仅当其为 Koszul。已知嵌入维数 $n \geq 3$、socle 次数 $s=3$ 的泛化 Artinian Gorenstein 代数是 Koszul。我们证明：当 $n\geq 4$ 且 $s \ge 3$ 时，泛化 Artinian Gorenstein 代数的率为 $\lfloor \frac{s}{2} \rfloor.$ 在此过程中我们表明，此类代数由 $\lfloor \frac{s}{2} \rfloor +1$ 次生成。这对数位第一作者提出的关于奇 socle 次数泛化 Artinian Gorenstein 环极小自由分解的长期猜想给出了部分肯定回答。