余维数为三的等次生成 Gorenstein 理想

我们关注标准多项式环 $R=\kk[x_1,\ldots,x_n]$（基域为 $\kk$）中余维数为三的齐次 Gorenstein 理想 $I$ 的结构，假设 $I$ 在固定次数 $d$ 中生成。对于这样的理想 $I$，该次数与 $I$ 的生成元最小个数以及相伴斜对称矩阵元素的次数通过一个简单公式相关联。我们给出一个初等的、与特征无关的证明，表明对于任意由该公式联系的数据，存在一个填满这些数据的余维数为三的 Gorenstein 理想 $I$。我们猜想，对任意 $n\geq 2$，由一般形式的 $r\geq n+2$ 个次数为 $d\geq 2$ 的型生成的理想 $I\subset \kk[x_1,\ldots,x_n]$ 是 Gorenstein 的当且仅当 $d=2$ 且 $r= {{n+1}\choose 2}-1$。当 $n=3$ 时我们证明了该猜想的“仅当”蕴含。对任意 $n\geq 2$，我们证明若 $d=2$ 且 $r\geq (n+2)(n+1)/6$，则该理想是 Gorenstein 的当且仅当 $r={{n+1}\choose 2}-1$，这解决了 $n\leq 5$ 时猜想的“当”断言。最后，我们围绕 Fr"oberg--Lundqvist 的一个问题展开讨论。从另一方向，我们揭示了 Macaulay 逆与所谓 Newton 对偶之间的联系，据我们所知此事迄今未被提出。最后，我们考虑形如 $(\ell_1^m,\ldots,\ell_n^m):\mathfrak{f}$ 的链何时是等次生成的这一问题，其中 $\ell_1,\ldots,\ell_n$ 是线性无关的一次型而 $\mathfrak{f}$ 是一个型，并在若干重要情形给出了解答。