与形式束相伴的 Gorenstein 代数的 Hilbert 函数

设 R 为 r 个变量的多项式环，D 为对偶环，R 在其上作为偏微分算子作用（经典 apolarity）。对于型为 2 的分次 level Artinian 代数 A=R/I，其 socle 次数为 j，我们考虑 A 的具有相同 socle 次数的 Artinian Gorenstein [AG] 商代数的族。由 Macaulay 对偶，A 对应于 D 中唯一的 2 维向量空间 W(A)=<F,G>，其由 j 次齐次元（形式）组成，且 A 的每个这样的 AG 商对应于 W(A) 中的一个元素 $F_\lambda=F+\lambda G$，模去非零常数倍。我们的主要结果给出了 A 的通用 AG 商之 Hilbert 函数的一个下界，该下界由 A 的 Hilbert 函数以及由 F 和 G 所确定的 R 的 AG 商的 Hilbert 函数表出。此结果限制了可能作为型 2 level 代数 A 的 Hilbert 函数出现的序列 H。此结果也可视为：对通用 λ，由 F 和 G 的相应维数，得到 $F+\lambda G$ 的 u 次偏导空间维数的一个最优下界。