Hilbert 函数 $(1,3^k,1)$ 的分次 Gorenstein 代数的极限

令 $R={\sf k}[x,y,z]$，为域 $\sf k$ 上的多项式环。若干作者此前在代数闭域上分类了三元二次曲线网及其特化。我们在此证明，当 $\sf k$ 为代数闭域，且 Hilbert 函数序列 $T=(1,3^k,1), k\ge 2$（即 $T=(1,3,3,\ldots,3,1)$，其中 $k$ 为 $3$ 的重数）时，参数化具有 Hilbert 函数 $T$ 的分次 Artinian 代数商 $A=R/I$ 的族 $G_T$ 是不可约的，且 $G_T$ 是 Hilbert 函数 $T$ 的 Artinian Gorenstein 代数族 $\mathrm{Gor}(T)$ 的闭包。我们随后将这些族 $\mathrm{Gor}(T)$ 与 $G_T$ 中的元素分类至同构。最后，我们给出余维三的 Gorenstein 序列的例子，如 $(1,3,5,3,1)$，其 $G_T$ 具有多个不可约分支，其中一个为 $\mathrm{Gor}(T)$ 的 Zariski 闭包。