Artinian 代数与一维代数族

本文旨在研究多项式环 $R$ 的 Artinian 或一维商代数族，并特别关注 level 代数。令 $\GradAlg^H(R)$ 为参数化 $R$ 的具有 Hilbert 函数 $H$ 的分次商代数的概形。令 $B \to A$ 为 $R$ 的具有 Hilbert 函数 $H_B$ 和 $H_A$、h-向量分别为 $h_B=(1,h_1,...,h_j,...)$ 和 $h_A$ 的分次满射。若 $\depth A = \dim A \leq 1$ 且 $A$ 是 $B$ 的“截断”，即意义为 $h_A=(1,h_1,...,h_{j-1},\alpha,0,0,...)$ 对某个 $\alpha \leq h_j$ 成立，则我们证明在 $B$ 为完全交，或 $A$ 的 Castelnuovo-Mumford 正则性至少比 $B$ 的正则性大 3（有时为 2）的条件下，$\GradAlg^{H_A}(R)$ 与 $\GradAlg^{H_B}(R)$ 在各自点 $(A)$ 与 $(B)$ 处的光滑性与维数等方面存在紧密关系。在完全交情形，我们将此关系推广到“非截断”的、压缩或接近压缩的 Artinian 代数 $A$。对更一般的 Artinian 代数，我们以易处理的形式描述了形变切空间与阻碍空间的对偶，并对 Cohen-Macaulay 型为 2 的 level 代数使之相当明确。该描述以及关于族的连结定理使我们证明了 Iarrobino 的一个猜想：即 $\GradAlg^H(R)$（$H=(1,3,6,10,14,10,6,2)$）至少存在两个不可约分支，其一般元素为型 2 的 Artinian level 代数。