路径依赖的受控平均场耦合正倒向 SDE 及其随机最大值原理

本文讨论一类新型平均场耦合正倒向随机微分方程（MFFBSDE）。其新颖之处在于：正向与倒向 SDE 的系数不仅依赖于当前时刻 $t$ 的受控解过程 $(X_t,Y_t,Z_t)$，还依赖于解过程与控制过程的 $(X,Y,u)$ 路径之律。在相当一般的假设下，证明了这类通过正向与倒向方程系数中 $(X,Y)$ 路径之律完全耦合的 MFFBSDE 解的存在性。关于律，我们仅假设系数在 2-Wasserstein 距离下对 $(X,Y)$ 之律连续。在 Lipschitz 假设及正向方程中 $X$ 之律的非 anticipativity 下证明了唯一性。本工作主要部分致力于研究此类 MFFBSDE 的 Pontryagin 最大值原理。系数对解过程及其控制的路径之律的依赖，使得我们获得了关于 MFFBSDE 随机控制最优性的全新且有趣的判别准则。特别地，哈密顿量也是新颖的，与现有文献截然不同。最后，在哈密顿量凸性假设下，我们证明了最优性条件不仅是必要的，也是充分的。