几何函数域上椭圆曲线的 P-挠单值表示

给定一个复拟射影曲线 $B$ 和一个定义在 $B$ 上的非等平凡椭圆曲线族 $\mathcal{E}$，其 $p$-挠 $\mathcal{E}[p]$ 产生一个单值表示 $\rho_\mathcal{E}[p]:\pi_1(B)\rightarrow \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)$。我们证明，如果 $\rho_{\mathcal E}[p]\cong \rho_{\mathcal E'}[p]$，则 $\mathcal{E}$ 和 $\mathcal E'$ 是等价的（isogenous），前提是 $p$ 大于一个仅依赖于 $B$ 的 gonality 的常数。这可以视为 Frey--Mazur 猜想在函数域上的类比，该猜想指出当 $p> 17$ 时，$\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线由其 $p$-挠 Galois 表示在同构意义下唯一确定。该证明依赖于双曲几何，因此仅适用于特征 0 的情形。