正交投影与 Grassmann 流形的指标

本文研究实 Grassmann 流形 $G_{n}(\R^{2n})$ 和 $\widetilde{G}_{n}(\R^{2n})$ 上通过取（适当定向的）正交补所给出的 $\Z/2$ 作用。我们利用向量丛圈积的 Stiefel--Whitney 类的新颖计算，完全计算了相关的 $\Z/2$ Fadell--Husseini 指标。这些结果被用于建立以下关于凸体正交投影的几何结果：对于 $n=2^a (2 b+1)$，$k=2^{a+1}-1$，$\R^{2n}$ 中的凸体 $C$，以及 $k$ 个关于 $\R^{2n}$ 中凸体在 Hausdorff 度量下连续的实值函数 $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$，存在子空间 $V\subseteq\R^{2n}$ 使得 $C$ 到 $V$ 及其正交补 $V^{\perp}$ 的投影关于每个函数 $\alpha_i$ 具有相同的值，即对所有 $1\leq i\leq k$ 有 $\alpha_i (p_V(C))=\alpha_i (p_{V^\perp} (C))$。