论凸体的覆盖指数

用凸体的位似形覆盖该凸体是离散几何中的一个经典概念，由此产生了许多有趣且长期未决的问题。Swanepoel引入了凸体的覆盖参数作为量化其覆盖性质的一种手段。在本文中，我们引入覆盖参数的两个相关量，称为覆盖指数和弱覆盖指数，它们上界了广为研究的量，如凸体的光照数、光照参数和覆盖参数。直观上，这两个指数衡量了一个凸体能被相对较少数量的、具有相同相对较小位似比的位似形覆盖得有多好。我们证明了覆盖指数是凸体的Banach-Mazur空间上的下半连续泛函。我们进一步证明仿射d-立方体在任意维度d上最小化覆盖指数，而圆盘在平面上最大化它。此外，覆盖指数与直矢量和及矢和运算满足良好的兼容性。事实上，我们得到了凸体直矢和的覆盖指数的精确公式，该公式在无穷多种情况下成立。这一点结合最小化性质可用于确定无穷多个凸体的覆盖指数。顾名思义，弱覆盖指数失去了覆盖指数的一些重要性质。最后，我们得到了覆盖指数和弱覆盖指数的上界。