由位似平移覆盖与凸体光照

本文致力于研究由位似平移构成的覆盖以及凸体的光照问题。对给定正数 $\alpha$ 与凸体 $B$，$g_{\alpha}(B)$ 为若干小于 1 的位似系数之 $\alpha$ 次幂和的下确界，使得存在以这些系数为系数的位似平移对 $B$ 的覆盖。$h_{\alpha}(B)$ 为方向的最少个数，使得 $B$ 的边界除 Hausdorff 维数小于 $\alpha$ 的子集外可被该数目的方向所光照。本文中，我们证明 $g_{\alpha}(B)\leq h_{\alpha}(B)$，给出两数的上下界，并讨论若干一般猜想。特别地，我们证明当 $B$ 为 $d$ 维立方体时，对几乎所有 $\alpha$ 与 $d$ 有 $h_{\alpha} (B) > 2^{d-\alpha}$，从而反驳了 Brass、Moser 和 Pach 所著《离散几何中的研究问题》中的猜想。