关于凸体的多重照明数

本文引入欧氏空间$\mathbb{E}^d$中凸体$K$的$m$重照明数$I^m(K)$，即$m$重照明$K$所需的最少方向数，亦即$K$边界上每点至少被$m$个方向照明。我们得到了任意$d$维凸体$K$的$I^m(K)$的下界，以及$I^m(\mathbb{B}^d)$的上界，其中$\mathbb{B}^d$为$d$维单位球。我们还证明了对于二维光滑凸体$K$有$I^m(K)=2m+1$。此外，我们得到了与小维数中凸多边形和$\mathbb{B}^d$的帽体的$m$重照明数相关的一些结果。特别地，我们证明了对于正凸$n$边形$P$有$I^m(P)=\left\lceil mn/{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor}\right\rceil$。