球面覆盖与常宽度凸体的 X 射线探测

K. Bezdek 与 Gy. Kiss 表明，$\mathbb{E}^n$ 中单位球面存在由不超过 $2^n$ 个半径不超过 $\arccos\sqrt{\frac{n-1}{2n}}$ 的全等球冠构成、以原点为中心的覆盖，蕴含 $\mathbb{E}^n$ 中常宽度凸体的 $X$ 射线猜想与照明猜想，并为 $4\le n\le 6$ 构造了此类覆盖。此处我们为 $5\le n\le 15$ 给出使用少于 $2^n$ 个球冠的此类构造。对于 $\mathbb{E}^n$ 中任意常宽度凸体的照明数，O.~Schramm 证明了以 $(3/2)^{n/2}$ 阶指数增长的估计。特别地，该估计在 $n\ge 16$ 时小于 $3\cdot 2^{n-2}$，从而确认了上述猜想对常宽度凸体类的成立。因此，我们的结果解决了遗留情形 $7\le n\le 15$。我们还展示了如何在计算机上高效计算球面上给定离散点集的覆盖半径。