关于 Hilbert 几何中覆盖问题的极性二元性

我们证明了 Hilbert 几何中覆盖问题的极性二元性。设 $G$ 和 $K$ 为 $\mathbb{R}^d$ 中的凸体，其中 $G \subset \operatorname{int}(K)$ 且 $\operatorname{int}(G)$ 包含原点。设 $N^H_K(G,\alpha)$ 和 $S^H_K(G,\alpha)$ 分别表示在由 $K$ 诱导的几何中，覆盖 $G$ 和 $\partial G$ 所需的半径为 $\alpha$ 的 Hilbert 球的最小数量。我们的主要结果是 Hilbert 几何中 K"{o}nig-Milman 覆盖二元性的类比：存在一个绝对常数 $c \geq 1$，使得对于任意 $\alpha \in (0,1]$，$$c^{-d}\,N^H_{G^{\circ}}(K^{\circ},\alpha) ~ \leq ~ N^H_K(G,\alpha) ~ \leq ~ c^{d}\,N^H_{G^{\circ}}(K^{\circ},\alpha),$$ 且同样地，$$c^{-d}\,S^H_{G^{\circ}}(K^{\circ},\alpha) ~ \leq ~ S^H_K(G,\alpha) ~ \leq ~ c^{d}\,S^H_{G^{\circ}}(K^{\circ},\alpha).$$ 我们也恢复了中心凸体的平移覆盖的经典体积二元性，并获得了一个新的边界覆盖二元性。在 Hilbert 情形下，由于度量不具有平移不变性，局部 Finsler 单位球随基点而变化，因此情形比平移情形更为微妙。证明涉及若干思想，包括 $\alpha$-expansions、控制极性与扩张相互作用的稳定引理，以及在边界情形下，结合局部相对等面积论证与 Holmes--Thompson 面积估计。此外，我们提供了 Faifman 在 Funk 与 Hilbert 几何中关于 Holmes--Thompson 体积与面积的极性界限的另一种证明。