具有解依赖系数的类 Runge–Kutta 方法的阶条件

近年来，许多用于初值问题的保正格式通过用解依赖因子对微分方程组右端进行加权来修改 Runge–Kutta (RK) 方法而构造。这些包括修正 Patankar–Runge–Kutta (MPRK) 和几何守恒 (GeCo) 方法类。与传统 RK 方法相比，这些方法的精度和稳定性分析更为复杂。在这项工作中，我们提供了此类类 RK 方法的阶条件的全面统一理论，它们与原 RK 格式的不同之处在于其系数是解依赖的。所得阶条件本身也是解依赖的，并使用 NB 级数理论获得，因此可容易地从标记 N 树读出。我们首次给出任意阶 MPRK 和 GeCo 格式的阶条件；对于 MPRK 格式，阶条件以关于各级的隐式形式给出。从这些结果中，我们作为特例恢复了文献中所有已知的一阶和二阶 GeCo 以及一阶、二阶和三阶 MPRK 方法的阶条件。此外，我们推导了三阶和四阶 GeCo 格式以及四阶 MPRK 方法的显式充分必要条件。我们还在此框架内提出了一种新的四阶 MPRK 方法，并从数值上确认了其收敛阶。