非线性分区龙格-库塔方法的阶条件

最近，针对自治常微分方程的非线性分区系统 $y' = F(y,y)$，提出了一类新的非线性分区龙格-库塔（NPRK）方法。目标问题类别是那些不同尺度、刚度或物理过程以非线性方式耦合的问题，其中期望的分区无法写成经典的加法或分量形式。在此，我们使用根树分析来推导NPRK$_M$方法的完整阶条件，其中$M$表示非线性分区的数量。由于非线性耦合以及由此产生的混合乘积微分，用于分析ODE积分器的标准节点着色根树分析并不自然适用。相反，我们开发了一个新的边着色根树框架来处理非线性耦合。我们列举了推导出的阶条件，直接提供了$M=2$时高达4阶和$M=3$时高达3阶的条件，并将其与现有的加法和分区RK方法的阶条件联系起来。最后，我们通过一个例子展示了如何使用非线性阶条件来获得动力系统中状态依赖的非线性耦合强度的嵌入式估计。