通过函数树张量网络推导龙格-库塔阶条件
数值分析
2026-04-28 v2 数值分析
摘要
树张量网络（TTNs）为高维数据提供了一种紧凑且结构化的表示，使其在计算数学和物理的各个领域都具有重要价值。本文提出了一个严格的数学框架，用于表达函数TTN的高阶导数，无论是否带有约束。我们的框架将给定TTN的全导数分解为多个TTN的和，每个TTN对应于原始TTN的偏导数。利用这种分解，我们推导了受常微分方程约束或由龙格-库塔（RK）方法施加的代数约束的向量值函数的泰勒展开。作为一个具体应用，我们利用该框架构建RK方法的阶条件。由于偏导数的固有张量性质和RK方法中的可分离张量结构，数值解的泰勒展开可以以类似于精确解的方式通过张量算子获得。这使得可以通过直接比较精确解和数值解的泰勒展开来建立RK方法的阶条件，无需数学归纳法。对于给定的函数，我们推导出比经典阶条件更精确的阶条件，能够识别标准RK格式在特定函数上意外获得更高收敛阶的情况。这些结果在张量网络理论与经典数值方法之间建立了新的联系，可能为解析探索和实际计算开辟新的途径。
引用
@article{arxiv.2504.15516,
title = {Derivation of Runge--Kutta Order Conditions via Functional Tree Tensor Networks},
author = {Junyuan He and Zhonghao Sun and Jizu Huang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2504.15516},
year = {2026}
}