与趋化-消耗模型弱解相关的最优控制

在本工作中，我们研究有界区域 $\Omega\subset \mathbb{R}^3$ 中如下趋化-消耗模型相关的最优控制问题：$$\partial_t u - \Delta u = - \nabla \cdot (u \nabla v), \quad \partial_t v - \Delta v = - u^s v + f \,v\, 1_{\Omega_c},$$ 其中 $s \geq 1$，并赋予隔离边界条件与 $(u,v)$ 的初始条件，$u$ 为细胞密度，$v$ 为化学浓度，$f$ 为通过在子区域 $\Omega_c \subset \Omega$ 中双线性项 $f \,v\, 1_{\Omega_c}$ 作用于 $v$-方程的控制。我们讨论限于弱解框架的最优控制的存在性，其中特别地，给定控制 $f$ 时状态 $(u,v)$ 的唯一性并不明确。进而通过考虑满足适当能量不等式的弱解，我们证明了在一致有界控制下最优控制的存在性。最后，我们讨论了所考虑的控制问题与另外两个相关控制问题之间的关系，而后两者中最优解的存在性无法被证明。