循环和轮盘的零和 Ramsey 数

对于整数 $q\ge 2$ 和边数为 $q$ 的倍数的图 $F$，记 $R(F,\Z_q)$ 为最小整数 $n$，使得每条边标记 $w\colon E(K_n)\to \Z_q$ 都包含一条边标记和在 $\Z_q$ 中为零的 $F$ 的副本。记 $C_{qk}$ 为具有 $qk$ 个顶点的循环。我们证明 $R(C_{qk},\Z_q)\le \max\{R(C_{2q},\Z_q),qk+q-1\}$，通过源自经典 Erd\H{o}s-Ginzburg-Ziv 定理的插入论证。结合 Pikhurko 的结果，我们得到 $R(C_{qk},\Z_q)\le \max\{35q^2,qk+q-1\}$，适用于所有 $q\ge 3$。我们还证明 $R(C_{qk},\Z_q)\ge qk+q-1$ 适用于奇数 $q\ge 3$。因此，对于固定的奇数 $q\ge 3$ 和每个 $k\ge 35q$，我们得到确切值 $R(C_{qk},\Z_q)=qk+q-1$。对于偶数 $q\ge 4$，相同方法给出 $qk+\frac q2-1\le R(C_{qk},\Z_q)\le \max\{35q^2,qk+q-1\}$，当 $k$ 较大时留下约 $q/2$ 的增量间隙。此外，对于 $q=3$ 的情况，我们证明 $R(C_{3k}, \mathbb{Z}_3) = 3k + 2$ 对所有 $k \ge 2$ 成立。 extending our techniques beyond cycles, 我们也解决了针对轮盘图 $W_m = C_m + K_1$ 的零和 Ramsey 数，证明 $R(W_{3k}, \mathbb{Z}_3) = 3k + 1$ 对所有 $k \ge 2$ 成立。