关于Toeplitz图作为线图的研究

Toeplitz图 $T_n \langle t_1,t_2,\ldots,t_k\rangle$ 是一个顶点集为 $[n]$ 的简单图，使得两个顶点 $v$ 和 $w$ 相邻当且仅当对某个 $i \in [k]$ 有 $|v-w| = t_i$。本文研究线Toeplitz图，即恰好是线图的Toeplitz图。我们首先证明，对于充分大的 $n$，阶为 $n$ 的无爪Toeplitz图族为 $T_n \langle t,2t,\ldots,kt\rangle$，其中 $t$ 和 $k$ 为某些非负整数。有趣的是，该图族由若干Toeplitz图的并组成，其中每个图同构于一个 $k$-树，该概念由Patil于1986年引入。随后我们完全刻画了任意正整数 $n$ 下作为线图的 $T_n \langle t,2t,\ldots,kt\rangle$。此外，我们给出了线Toeplitz图 $T_n \langle t_1,t_2\rangle$ 与 $T_n \langle t_1,t_2,t_3\rangle$ 的详尽描述。一般而言，线Toeplitz图的完全刻画似乎极具挑战性。即便对于 $T_n \langle t_1,t_2,t_3\rangle$，做到这一点也并不容易。还值得指出的是，存在不属于 $T_n \langle t,2t,3t\rangle$ 形式的线Toeplitz图。