具有预定顶点数与边数轨道的坚果图

坚果图是一种非平凡图，其邻接矩阵具有一维零空间，且由无零分量向量张成。最近的研究表明，坚果图的边数轨道数多于顶点数轨道数。此外，已证明对于任意偶数 $r \ge 2$ 和任意 $k \ge r + 1$，存在具有 $r$ 个顶点轨道和 $k$ 个边数轨道的无数多个坚果图。本文扩展了这一结果，通过找出所有 $(r, k)$ 对的组合，使得存在具有 $r$ 个顶点轨道和 $k$ 个边数轨道的坚果图。特别地，我们证明对于任意 $k \ge 2$，存在无数多个具有 $k$ 个边数轨道和 $k$ 个弧数轨道的 Cayley 坚果图。