关于超临界扩散磁地转方程

我们研究了磁地转方程的适定性理论，该方程是一个活性标量方程，其中无散漂移速度比活性标量高一个导数的奇异性。在存在由 $(-\Delta)^\gamma$（其中 $0<\gamma<1$）给出的超临界分数阶扩散的情况下，我们发现当 $\gamma>1/2$ 时方程是局部适定的，而当 $\gamma<1/2$ 时方程是不适定的，即不存在 Lipschitz 解映射。当 $\gamma$ 低于 $1/2$ 时出现显著的正规性丧失，其主要原因是用于从活性标量获取速度的本构律由一个无界傅里叶乘子给出，该乘子既是偶函数又是各向异性的。最后，我们指出，可以探索速度本构律的各向异性，以便在初始数据和力具有稀疏傅里叶支撑（即它们在频率空间中支撑于一个平面上）时获得解的正规性改进。特别是，对于此类精心准备的数据，可以证明对于所有 $\gamma \in (0,1)$ 值，解都存在局部存在性和唯一性。