粘性磁地转方程的存在性、唯一性和正则性结果

我们研究了称为磁地转方程的三维主动标量方程，该方程由 Moffatt 和 Loper 提出，作为地球流体核心中地发电机过程的模型。当流体粘度为正时，联系漂移速度 $u(x,t)$ 和标量温度 $\theta(x,t)$ 的本构定律产生了二阶平滑效应。我们研究了这一性质的含义。例如，我们证明了在非扩散 ($\varepsilon_\kappa=0$) 主动标量方程的情况下，初始数据 $\theta_0\in L^3$ 意味着存在唯一的全局弱解。如果 $\theta_0\in W^{s,3}$ 且 $s>0$，则解 $\theta(x,t)\in W^{s,3}$ 对所有时间成立。在正扩散率 ($\varepsilon_\kappa>0$) 的情况下，即使对于奇异初始数据 $\theta_0\in L^3$，全局解也会瞬间被 $C^\infty$ 平滑，并对所有 $t>0$ 经典地满足漂移 - 扩散方程。我们通过一个特定例子表明，粘性磁地转方程允许指数增长的“发电机型”不稳定性。