Dysthe方程在 $L^2(\mathbb R^2)$ 中的全局适定性与散射

本文关注 Dysthe 方程，该方程是水波系统在调制（薛定谔）区域且无限水深情形下的高阶近似。我们首先回顾 Dysthe 方程及相关方程的推导。随后研究其初值问题。我们在临界空间 $L^2(\mathbb R^2)$ 中证明了小数据全局适定性与散射结果。鉴于流映射在低于 $L^2(\mathbb R^2)$ 时不能 $C^3$ 连续，该结果是尖锐的。我们的分析依赖于 Fourier 限制范数方法下的线性与双线性 Strichartz 估计。此外，由于我们处于临界水平，需要在原子空间 $U^2_S$ 及其对偶 $V^2_S$（平方有界变差函数空间）的框架中工作。我们还证明了初值问题在 $H^s(\mathbb R^2)$（$s>0$）中局部适定。我们的结果可推广至 Dysthe 方程的有限水深版本。