关于锥奇异流形的谱几何

在上一篇文章中，我们推导了锥奇异流形上函数的 Laplace-Beltrami 算子热迹的详细渐近展开。在本文中，我们研究展开式中的各项如何反映流形的几何。由于一般展开包含对数项，其消失是流形光滑的必要条件。在二维情形下，这意味着展开式的常数项包含一个决定（圆形）截面长度的非局部项，并且当且仅当该长度等于 $2\pi$ 时，即在光滑情形下，该项消失。我们继续研究更高维的情形。在四维情形下，展开式中的对数项当且仅当截面是球面空间形式时消失，并且我们预期另一个奇异项的消失将再次意味着光滑性，但这在循环空间形式之外的情形尚不清楚。在更高维中，情况自然更加困难。我们在常曲率截面的情形下对此进行了说明。此时对数项变为曲率的多项式，其根不等于 1，这需要其他项更多地消失，而这一点目前尚未被孤立出来。