广义尖点流形上 $p$-形式拉普拉斯算子的散射理论

本文研究具有特殊尖点状度量奇点的流形上的散射理论，该度量具有卷曲乘积形式 $g=dx^2 + x^{-2a}h$，其中 $a>0$。这些度量构成了卷曲乘积奇点度量类中的一个自然子集，可视为介于双曲度量和柱度量之间的插值。我们证明，作用于此类流形上 $p$-形式的拉普拉斯算子的预解式，可延拓为定义在复平面的对数覆盖上的亚纯函数，其取值在加权 $L^2$-空间之间的有界算子中。这使得我们能够构造拉普拉斯算子的广义本征形式，并对散射矩阵进行亚纯延拓。我们精确描述了广义本征形式在尖点处的渐近展开，并发现散射矩阵满足一个函数方程。