关于具有旗标结构的算子幂的相似性

设 $\mathrm{L}^2_a(\mathbb{D})$ 为经典 Bergman 空间，记 $M_h$ 为函数 $h$ 的乘法算子。设 $B$ 为阶数为 $n$ 的有限 Blaschke 乘积。R. G. Douglas 提出的一个开放问题是：$\mathrm{L}^2_a(\mathbb{D})$ 上的算子 $M_B$ 是否相似于 $\oplus_1^n \mathrm{L}^2_a(\mathbb{D})$ 上的 $\oplus_1^n M_z$？该问题不仅对 Bergman 空间，而且对许多其他具有再生核的 Hilbert 空间都得到了肯定的回答。由于在许多情况下算子 $M_z^*$ 属于 Cowen-Douglas 类 $B_1(\mathbb{D})$，Douglas 的问题可以表述为针对 $B_1(\mathbb{D})$ 中算子的版本，且对 $B_1(\mathbb{D})$ 中的许多算子而言答案是肯定的。一个自然的问题是：对于 Cowen-Douglas 类 $B_n(\mathbb{D})$ ($n>1$) 中的算子，Douglas 问题的版本结果如何？在本文中，我们研究了一类属于 Cowen-Douglas 类 $B_2(\mathbb{D})$ 的范数稠密子类的算子，并给出了否定的回答。这表明 Douglas 的问题不能直接推广到具有向量值解析再生核的一般 Hilbert 空间。