C^d中有界域的Bergman空间上的乘法算子

本文研究高维有界域的Bergman空间上的乘法算子，以及通过域的几何和符号的函数论由它们诱导的von Neumann代数。特别地，利用局部逆和$L^2_a$-可去性，我们证明了对$\mathbb{C}^{d}$中有界域$\Omega$上的全纯真映射$\Phi =(\phi_1, \phi_2, \cdots , \phi_d)$，由Bergman空间$L_a^2(\Omega)$上的有界算子组成的von Neumann代数$\mathcal{V}^*(\Phi ,\Omega)$（对每个$j$与$M_{\phi_j}$及其伴随$M_{\phi_j}^*$均交换）的维数等于复流形$\mathcal{S}_{\Phi }= \{(z,w)\in \Omega^2: \Phi (z)=\Phi (w),\, z\not\in \Phi ^{-1}(\Phi (Z))\}$的分量个数，其中$Z$是$\Phi$的Jacobian $J\Phi$的零点簇。这推广了\cite{DSZ}在高维复域中的主要结果。此外，我们证明von Neumann代数$\mathcal{V}^*(\Phi ,\Omega)$一般而言可能非交换，尽管Douglas, Putinar and Wang \cite{DPW}证明了单位圆盘$\mathbb{D}$的$\mathcal{V}^*(\Phi ,\mathbb{D})$是交换的。