关于双对数导数算子的周期轨道

我们在复分析环境中研究双对数导数算子 $\mathcal{A}[f]=\mathrm{d}\ln f/\mathrm{d}\ln x$ 的周期行为。我们证明 $\mathcal{A}$ 接受确实非退化的二周期轨道，并给出一个标准的显式例子。此举引发我们对所有非退化二周期解的完全分类，其正好是理想中的偶数对 $(c a x^{c}/(1-ax^{c}),\, c/(1-ax^{c}))$ 其中 $ac\neq 0$。我们进一步分类了 $\mathcal{A}$ 的所有固定点，表明 $\mathcal{A}[f]=f$ 的每个解的形式为 $f(x)=1/(a-\ln x)$。作为说明，Logistic 类型函数在 $\mathcal{A}$ 下经过对数变量变换后变为准周期，进入一个迭代中的二周期家族。这些结果给出了 $\mathcal{A}$ 低周期结构的显式描述，并提供了算子诱导函数空间动力学的一个可处理的例子。