全纯映射在不动点处隐藏的周期轨道个数

设 $\Delta ^{2}$ 为复向量空间 $\mathbb{C}^{2}$ 中 centred at the origin 的球，设 $f:\Delta ^{2}\to \mathbb{C}^{2}$ 为全纯映射，满足 $f(0)=0$，设 $M$ 为正整数。若原点 0 是 $f$ 的第 $M$ 次迭代 $f^{M}$ 的孤立不动点，则可定义 $f$ 在不动点 0 处隐藏的周期 $M$ 的周期轨道个数 $\mathcal{O}_{M}(f,0)$，其意义为：任一在原点邻域内充分接近 $f$ 的全纯映射 $g:\Delta ^{2}\to \mathbb{C}^{2}$，只要在原点附近的所有 $g^{M}$ 的不动点均为单的，则其在原点附近恰有 $$ 个不同的周期 $M$ 的周期轨道。已知 $\mathcal{O}_{M}(f,0)\geq 1$ 当且仅当 $f$ 在原点的线性部分有周期 $M$ 的周期点。本文继续研究数 $\mathcal{O}_{M}(f,0)$。我们感兴趣的是 $f$ 在原点的线性部分满足何种条件时 $\mathcal{O}_{M}(f,0)\geq 2$。对任意给定的 $2\times 2$ 矩阵 $A$，本文的目标是给出 $A$ 的充要条件，使得对所有满足 $f(0)=0,$ $Df(0)=A$ 且原点 0 是 $f^{M}$ 的孤立不动点的全纯映射 $f:\Delta ^{2}\to \mathbb{C}^{2}$ 均有 $$。