全纯映射的不动点指标与周期点

设 $\Delta ^{n}$ 为复向量空间 $\mathbb{C}^{n}$ 中的球 $|x|<1$，设 $f:\Delta ^{n}\to \mathbb{C}^{n}$ 为全纯映射，$M$ 为一正整数。假设原点 $0=(0,..., 0)$ 是 $f$ 及其 $M$ 次迭代 $f^{M}$ 的孤立不动点。则对 $M$ 的每个因子 $m$，原点仍是 $f^{m}$ 的孤立不动点，且 $f^{m}$ 在原点的不动点指标 $\mu_{f^{m}}(0)$ 良定义，其在原点的（局部）Dold 指标（见[\ref{Do}]）亦良定义：\begin{equation*} P_{M}(f,0)=\sum_{\tau \subset P(M)}(-1)^{#\tau}\mu_{f^{M:\tau}}(0), \end{equation*}其中 $P(M)$ 为所有整除 $M$ 的素数之集，求和遍历 $P(M)$ 的所有子集 $\tau$，#\tau 为 $\tau$ 的基数，且 $M:\tau =M(\prod_{p\in \tau}p)^{-1}$。$P_{M}(f,0)$ 可解释为在原点处重合的 $f$ 的 $M$ 周期点个数：任何充分接近于 $f$ 的全纯映射 $f_{1}:\Delta ^{n}\to \mathbb{C}^{n}$ 在原点附近恰有 $P_{M}(f,0)$ 个不同的 $M$ 周期点，只要 $f_{1}^{M}$ 在原点附近的所有不动点均为简单的。注意 $f$ 本身在原点附近没有 $M$ 周期点。依据 M. Shub 与 D. Sullivan 的工作[\ref{SS}]，$P_{M}(f,0)\neq 0$ 的一个必要条件是 $f$ 在原点处的线性部分有一个 $M$ 周期点。本文的目标是证明对全纯映射该条件也是充分的。