计算离散动力系统的 $\mathbb{Z}_{p}$ 与 $\mathbb{F}_{p}[t]$ 不动点个数及其在算术统计中的应用，III

在这篇后续文章中，我们再次考察由 $\varphi_{d, c}(z) = z^d + c$ 定义的多项式映射 $\varphi_{d, c}$ 的不动点集合与系数 $c$ 之间的惊人关系，其中对所有 $c, z \in \mathcal{O}_{K}$ 或 $\in \mathbb{Z}_{p}$ 或 $\in \mathbb{F}_{p}[t]$，$K$ 是次数为 $n > 1$ 的任意数域，$p>2$ 是任意素数，$\mathbb{Z}_{p}$（对应地，$\mathbb{F}_{p}[t]$）是所有 $p$-adic 整数的环（对应地，有限域 $\mathbb{F}_{p}$ 上的所有多项式环），且 $d>2$ 是整数。与之前一样，我们再次希望研究受算术统计进展启发的计数问题，以及 Narkiewicz 关于全复 $K$-周期点和 Adam-Fares 关于算术动力学中 $\mathbb{Q}_{p}$-周期点的研究。在此过程中，我们首先证明，对于任意素数 $p\geq 3$ 和任意 $\ell \in \mathbb{Z}_{\geq 1}$，任意 $\varphi_{p^{\ell}, c}$ 模素数 $p\mathcal{O}_{K}$（模 $p\mathbb{Z}_{p}$）的不同不动点的平均数量在 $c\to \infty$ 时是有界的、为零的或无界的。进一步受 Benedetto 在算术动力学中关于 $\mathbb{F}_{p}(t)$-周期点计数结果的启发，我们发现 $\mathbb{F}_{p}[t]$ 环境下不动点的平均数量表现与 $\mathcal{O}_{K}$ 环境下相同。最后，我们在此应用算术统计中的计数和统计结果，从而获得了关于在我们的多项式离散动力系统环境中自然产生的不可约首一（$p$-adic）整系数多项式、数域以及全局函数域子域的计数和统计结果。