离散动力系统积分固定点的计数：来自算术统计的应用，第一篇

在本系列的第一篇文章中，我们检验了一种令人惊讶的关系：即多项式映射 $\varphi_{d, c}$ 的固定点集合与系数 $c$ 之间的关系，该映射由 $\varphi_{d, c}(z) = z^d + c$ 定义，其中 $d > 2$ 为整数。受到 Bhargava-Shankar-Tsimerman 及其合作者在算术统计领域中优雅计数问题以及极具冲击力的结果，以及 Narkiewicz 对算术动力学中任意奇次程度映射 $\varphi_{d, c}$ 有理周期点的有趣点计数结果的启发，我们首先证明：对于任意素数 $p\geq 3$，当 $c$ 趋于无穷大时，任一 $\varphi_{p, c}$ 模 $p$ 下的离散积分固定点的平均数为 $3$ 或 $0$。进一步受 Hutz 对 $\varphi_{p-1, c}$（其中 $p\geq 5$ 为任意素数）在算术动力学中有理周期点的猜想的启发，我们也证明：当 $c\to \infty$ 时，任一 $\varphi_{p-1, c}$ 模 $p$ 下的离散积分固定点的平均数为 $1$、$2$ 或 $0$。最后，我们运用算术统计中的密度与数域计数结果，由此获得关于我们多项式离散动力学环境中自然出现的不可约整数多项式和数域的计数与统计结果。