计算离散动力系统中 $\mathcal{O}_{K}$-不动点的数量及其在算术统计中的应用 II

在这篇后续文章中，我们再次探讨多项式映射 $\varphi_{d,c}$ 的不动点集合与系数 $c$ 之间令人惊讶的联系，该映射定义为对所有 $c, z \in \mathcal{O}_{K}$ 满足 $\varphi_{d,c}(z) = z^d + c$，其中 $K$ 是次数为 $n > 1$ 的任意数域，$d > 2$ 为整数。与之前一样，我们希望研究受算术统计中激动人心的进展所启发的计数问题，并且部分受到 Narkiewicz 关于算术动力学中任意奇数次映射 $\varphi_{d,c}$ 的实 $K$ 有理周期点点计数结果的启发。在此过程中，我们首先证明，对于任意次数为 $n \geq 2$ 的实代数数域 $K$，以及任意素数 $p \geq 3$ 和整数 $\ell \geq 1$，当 $c\to \infty$ 时，任意 $\varphi_{p^{\ell},c}$ 模素理想 $p\mathcal{O}_{K}$ 的不同整不动点的平均数为 $3$ 或 $0$。进一步受 Benedetto 关于算术动力学中任意素数 $p \geq 5$ 和整数 $\ell \in \mathbb{Z}_{\geq 1}$ 的任意 $\varphi_{(p-1)^{\ell},c}$ 的 $K$ 有理周期点点计数结果的启发，我们还无条件地证明，对于任意次数为 $n \geq 2$ 的数域 $K$（不一定是实数域），当 $c\to \infty$ 时，任意 $\varphi_{(p-1)^{\ell},c}$ 模素数 $p\mathcal{O}_{K}$ 的不同整不动点的平均数为 $1$ 或 $2$ 或 $0$。最后，我们应用算术统计中的密度与数域计数结果，从而获得了关于在我们的多项式离散动力系统设置中自然产生的不可约多项式与数域的计数与统计结果。