关于点与多项式曲线的组合性质

平面上点集的许多组合性质由直线对该点集的可能划分集所决定。其本质组合性质被有向拟阵的公理很好地刻画。事实上，Goodman 和 Pollack (Journal of Combinatorial Theory, Series A, Volume 37, pp. 257-293, 1984) 证明了秩为 $3$ 的有向拟阵的公理完全刻画了由点与线构形的自然拓扑推广所产生的可能划分集。在本文中，我们引入了一类新的有向拟阵，称为 $k$ 次有向拟阵，它刻画了平面上点集被 $k$ 次多项式函数图像划分的可能划分的本质组合性质。我们证明了 $k$ 次有向拟阵的公理完全刻画了由点和 $k$ 次多项式函数图像构形的自然拓扑推广所产生的可能划分集。结果表明，$k$ 次有向拟阵的公理与 ($k+2$)-signotopes 的公理一致，后者由 Felsner 和 Weil (Discrete Applied Mathematics, Volume 109, pp. 67-94, 2001) 在完全不同的背景下引入。我们的结果为 ($k+2$)-signotopes 以及 $\mathbb{R}^{n-k-3}$ 中循环超平面构形的单元素扩张提供了二维几何解释。