邻接与近乎邻接构型及其对偶

本论文提出了 Gale 对偶性在研究具有极值组合性质的多胞形、点构型和定向拟阵中的新应用。论文第一部分探讨了邻接多胞形和定向拟阵的构造技术。首先，我们就定向拟阵的字典序扩展，对 Shemer 经典的缝合构造（Sewing Construction）用于邻接多胞形提供了新的解释。这使我们能够提供一个简化的证明，并以两种方式将其推广到定向拟阵：扩展缝合构造和 Gale 缝合构造。通过估计以后者构造的多胞形数量，我们可以为邻接多胞形的组合类型数量提供新的下界，甚至改进了当前关于多胞形数量的最佳界限。这两种新技术的结合还使我们能够构造许多不可实现的邻接定向拟阵。点构型的度是其内部面的最大余维数。论文第二部分介绍了关于度相对于其维度较小的点构型（具体而言，那些度小于 [(d+1)/2] 的构型，即邻接多胞形的度）的组合结构的各种结果。对该问题的研究动机来自 Ehrhart 理论，其中相当于度的概念（针对格点多胞形）在过去几年中得到了广泛研究。此外，对度的研究也与单纯多胞形的广义下界定理、Cayley 多胞形以及 Tverberg 理论相关。除其他结果外，我们提出了度为 1 的点构型的完整组合分类。此外，我们就弱 Cayley 构型和余度分解等新概念，展示了小度构型的组合限制。