关于定向拟阵的对称群

长期以来，人们对超平面排列、点配置和多面体等几何结构的对称性进行了广泛研究。然而，作为它们共同组合抽象的定向拟阵的对称性尚未被充分理解。本文旨在更好地理解定向拟阵的对称性。首先，我们聚焦于拟阵的对称性，并给出一个一般构造，生成一个具有拟阵对称性但无法实现为几何对称的三维点配置。该构造基于以下观察：二维欧氏空间中的每个非平凡旋转都有一个唯一的不动点，但拟阵没有相应的性质。该构造表明，不动点定理的缺失在拟阵对称性和点配置的几何对称性之间产生了巨大差距。受此启发，我们研究了定向拟阵对称群的不动点性质。对于定向拟阵的旋转对称性，我们证明了一个有用的性质，该性质对应于不动点的唯一性（在秩3情况下）。利用它，我们对秩3简单定向拟阵的旋转和完全对称群进行了分类。此外，我们为定向拟阵对称群的子群定义了允许不动点（FPA）性质，并对具有FPA性质的秩4简单无环定向拟阵的旋转对称群进行了分类。我们猜想每个无环简单定向拟阵的对称群都具有FPA性质。