三维欧几里得空间中同步移动机器人的图案形成问题

我们考虑一群自主移动机器人，每个机器人是三维欧几里得空间（3D-space）中的一个匿名点，并同步执行一个公共分布式算法。我们研究图案形成问题，该问题要求机器人从初始构型形成给定的目标图案，并通过给出机器人形成给定目标图案的充要条件来刻画该问题。二维欧几里得空间（2D-space）中的图案形成问题已由 Suzuki 和 Yamashita（SICOMP 1999, TCS 2010）以及 Fujinaga 等人（SICOMP 2015）研究。构型（即机器人的位置）$P$ 的对称度 $\rho(P)$ 直观上是作用于 $P$ 的循环群的阶。已证明全同步（FSYNC）机器人能从初始构型 $P$ 形成目标图案 $F$ 当且仅当 $\rho(P)$ 整除 $\rho(F)$。我们通过使用由一组旋转轴及其排列定义的旋转群，将对称度的概念扩展到 3D 空间。我们定义 3D 空间中构型 $P$ 的对称度 $\varrho(P)$ 为作用于 $P$ 且其旋转轴不包含任何机器人的旋转群的集合。我们给出如下图案形成问题的充要条件，它是现有 2D 空间图案形成问题结果的自然推广：3D 空间中的 FSYNC 机器人能从初始构型 $P$ 形成目标图案 $F$ 当且仅当 $\varrho(P) \subseteq \varrho(F)$。对于可解实例，我们给出了一种面向健忘 FSYNC 机器人的图案形成算法。本文的洞见是，3D 空间中移动机器人的对称性有时低于其位置的对称性，且机器人可通过其运动展现其对称性。