非几何迭代扩张的 Galois 群的不动点比例

给定一个定义在数域 $k$ 上且次数大于 1 的映射 $\varphi:\mathbb{P}^1\rightarrow \mathbb{P}^1$，对于每个好约化的素理想 $\mathfrak{p}$，可以通过模 $\mathfrak{p}$ 约化诱导出一个映射 $\varphi_\mathfrak{p}:\mathbb{P}^1(\mathfrak{o}_k/\mathfrak{p})\rightarrow \mathbb{P}^1(\mathfrak{o}_k/\mathfrak{p})$。已有研究表明，对于典型的 $\varphi$，随着 $|\mathbb{P}^1(\mathfrak{o}_k/\mathfrak{p})|$ 的增长，$\varphi_\mathfrak{p}$ 的周期点比例应收敛于 $0$。在本文中，我们推广了先前的结果，包含了一组更弱的充分条件，使得该性质成立。我们还能够证明，这些条件对于某些函数族是必要的，例如形如 $\varphi(x)=x^d+c$ 的函数，其中 $0$ 不是该映射的预周期点。我们通过研究与映射迭代相关联的某些扩张的 Galois 群的不动点比例来研究周期点的比例。