代数函数的周期点与 Deuring 类数公式

代数函数 $\widehat{F}(z)=(-1\pm \sqrt{1-z^4})/z^2$ 在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 中的精确周期点集被证明由 Fermat 方程 $x^4+y^4=1$ 在虚二次域 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ 上、奇导子 $f$ 的环类域 $\Omega_f$ 中某些解 $(x,y)=(\pi, \xi)$ 的坐标组成,其中 $-d \equiv 1$ (mod $8$)。这被证明源于如下事实:对任意 $d \equiv 7$ (mod $8$),当视作 $2$-进域 $\mathbb{Q}_2$ 的极大非分歧扩张 $\textsf{K}_2$ 中元素时,$2$-进函数 $F(z)=(-1+ \sqrt{1-z^4})/z^2$ 是满足 $|\pi|_2<1$ 的坐标 $\pi$ 上 Frobenius 自同构的提升。这给出了 Deuring 类数公式在 $p=2$ 情形的一种解释。给出了计算这些周期点及相应类方程 $H_{-d}(x)$ 的代数方法,适用于小周期。并确定了 $\widehat{F}(z)$ 在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 中的预周期点。