丢番图方程解作为 p 进代数函数的周期点, III

确定了与 Rogers-Ramanujan 连分式 $r(\tau)$ 相关的某个代数函数的所有周期点。它们恰好为 $0, \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$, 以及值 $r(w_d/5)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的共轭, 其中 $w_d$ 是域 $K_d=\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ 中一组特定的代数整数之一, 可被 5 的某个素因子的平方整除, 且当 $-d$ 取遍所有满足 $\left(\frac{-d}{5}\right) = +1$ 的负二次判别式。这给出了关于域 $K_d$ 中阶的类数的新认识。第一部分中的猜想 1 对素数 $p=5$ 得到证明, 表明以 $K_d$ 型域为基、其导子与 $5$ 互素的环类域, 等同于由某个固定的 $5$ 进代数函数的周期点(排除 -1)在 $\mathbb{Q}$ 上生成的域。