丢番图方程的解作为 $p$-进代数函数的周期点，I

证明了在二次域 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$（其中 $-d \equiv 1$ (mod $8$)）上奇导子的环类域中，四次费马方程的解是定义在 $2$-进域 $\mathbb{Q}_2$ 的最大非分歧代数扩张 $\textsf{K}_2$ 的去心圆盘 $0< |z|_2 \le \frac{1}{2}$ 上的固定代数函数 $T(z)$ 的周期点。证明了素数 $p=2$ 分裂的虚二次域上所有奇导子的环类域均由代数函数 $T$ 的复周期点生成；反之，除了两个例外，$T$ 的所有周期点均在适当的虚二次域上生成环类域。这为 Deuring 最初证明的一类类数关系提供了动力学证明。猜想对于任意素数 $p$ 代替 $p=2$ 也存在类似情况，其中 $p=3$ 的情形此前已由作者证明，而 $p=5$ 的情形将在第二部分中处理。