全实域上的扭费马曲线

设 $p$ 为素数,$F$ 为满足 $[F(\mu_p):F]=2$ 且 $[F:\mathbb{Q}]$ 为奇数的全实域。对 $\delta\in F^{\times}$,令 $[\delta]$ 表示其在 $F^{\times}/F^{\times p}$ 中的类。本文证明主要定理:存在无穷多类 $[\delta]\in F^{\times}/F^{\times p}$,使得扭仿射费马曲线 $W_\delta: X^p+Y^p=\delta$ 没有 $F$-有理点。