不变环的Hilbert多项式固定点与次数

设$k$为域，$V$为维数为$d$的$k$向量空间。设$G\subseteq GL(V)$为有限群，记$r=\dim_k(V^*)^G$。若$r\geq 1$，设$R=k[V]^G$为$G$的不变环。设其Hilbert多项式为$H_R(n)=a_{d-1}(n)n^{d-1}+\cdots+a_1(n)n+a_0(n)$，其中$a_i(-)$为周期函数。我们证明$a_{d-1}(-),\ldots,a_{d-r}(-)$为常数。按Erhart术语，$\operatorname{grade} H_R\leq d-r-1$。我们还给出一个示例，说明该结果具有尖锐性。