关于对角形对的Artin猜想

设$p$为奇素数且$d = p^{\tau}(p-1)$。本着Artin猜想的精神，考虑由\begin{equation*}\begin{split} a_1x_1^d + \cdots + a_sx_s^d = 0\\ b_1x_1^d + \cdots + b_sx_s^d = 0 \end{split} \end{equation*}给出的$s$个变量中两个$d$次对角形方程组，其中$a_i, b_i \in \mathbb{Q}_p$。对于$s > 2 \frac{p}{p-1}d^2 - 2d$，本文证明该方程组对每个$\tau \ge 3, p \ge 7$，以及每个$\tau = 2, p \ge \frac{C}{2}+4$（其中$C \le 9996$）具有非平凡$p$-进解。此外，对于$s > (2\frac{p}{p-1} + \frac{C-3}{2p-2})d^2 - 2d$，该方程组将对每个$\tau = 1, p \ge 5$具有非平凡$p$-进解。