Piatetski-Shapiro 素数中高幂系统的 Roth 型定理 (II)

我们考虑非线性系统 $c_1p_1^d +c_2p_2^d + \dots + c_s p_s^d = 0$，其中 $c_1, c_2,\dots, c_s\in\mathbb Z$ 为非零且满足 $c_1 +c_2 + \dots + c_s = 0$。我们证明，对于 $s\ge 2\lfloor \frac{d^2}2\rfloor+1$ 和 $c\in\left(1, 1+c(d,s)\right)$，如果该系统在不超过 $x$ 且对应于 $c$ 的 Piatetski-Shapiro 素数子集 $\mathcal{A}$ 中仅有 $K$-平凡解，则 $|\mathcal{A}| \ll \frac{x^{\frac1c}}{\log x}$$\left(\log \log \log \log x\right)^{\frac{2-s}{dc}+\varepsilon}$。