Artin 猜想中 Arkhipov-Karačuba 型反例的变体
数论
2024-10-17 v2
摘要
Emil Artin 在 1930 年代猜想，p-进域上多于 d^2 个变量的每个 d-形式 F(x_1, x_2, …, x_n) 在 p-进域上有一个非 (0, 0, ⋯, 0) 的解（非平凡解）。这对 d=2 和 d=3 成立。然而，后来发现了许多 d ≥ 4 的反例。反例的主要类型为 Terjanian 型和 Arkhipov-Karačuba 型。不过，所有已知反例的次数均可被 p-1 整除，这意味着它们对所有奇素数均为偶数。在本文中，我们对已知的 Arkhipov-Karačuba 型反例进行修正，以构造次数为奇数且对所有大于 3 并模 4 同余于 3 的素数可被 (p-1)/2 整除的反例，然后提出一些关于增加反例中变量个数的想法。
引用
@article{arxiv.1809.01175,
title = {Variations on the Arkhipov-Kara\v{c}uba Type Counterexamples to Artin's Conjecture},
author = {Zhaobo Tom Han},
journal= {arXiv preprint arXiv:1809.01175},
year = {2024}
}
备注
There is an error with equation (5), leading to a breakdown of the arguments in the third section