有效 Bertini 定理与 7 次、11 次 p 进形式的零点

我们在有限域 k 上定义的 hypersurface $X_f \colon f = 0$ 上建立了一个有效的 Bertini 类型定理，其中 f 在代数闭包 $\overline{k}$ 上的线性因子为零。给定定义在 k 上的一条直线 L，以及 $X_f \cap L$ 上定义在 $\overline{k}$ 上的非reduced 点 x，我们给出包含 L 的平面 P 的上限数量，使得 $X_f \cap P$ 包含通过 x 的一条直线。此结果背后是 Kaltofen 原本因素双变量多项式的因式分解算法，我们在稍放宽假设下对其进行了阐述。我们的主要应用是 Artin 对 p 进次数为素数的形式的零点猜想：若 $K/\mathbb{Q}_p$ 为有限扩张，其剩余域同构于 $\mathbb{F}_q$，且 $F \in K[x_0, \ldots, x_{d^2}]$ 为次数为 d 的齐次多项式，则该猜想声明 F 在 K 中具有非平凡零点。我们证明当 $q > 679$ 时该猜想对 $d=7$ 成立，当 $q > 7393$ 时对 $d=11$ 成立，改进了 Wooley 的结果。